K.O.-Turnier-Rätsel

Wieviele Spiele gibt es bei einem K.O.-Turnier mit n Teilnehmern? Durch einfaches Nachzählen kommt man stets auf n-1 Spiele.

Ein paar Beispiele zum nachrechnen? Gerne:

Bei vier Teilnehmern gibt es zwei Halbfinalspiele und dann das Finale, also insgesamt drei Spiele. Drei ist eins weniger als vier (für Mathematiker: 3 = 4 – 1), wir sind also auf Kurs.

koSystem

schematische Darstellung eines K.O.-Systems

Bei drei Teilnehmern kriegt einer der Teilnehmer im Halbfinale ein Freilos (welches nicht als Spiel gilt) damit gibt es ein Spiel weniger als oben, also zwei Spiele.

Nehmen wir mal acht Teilnehmer. Dann haben wir vier Viertelfinalspiele, zwei Halbfinalspiele und dann wieder das Finale, also insgesamt sieben Spiele. Die Serie hält!

Letztes Beispiel: Bei sechs Teilnehmern kriegen zwei der Teilnehmer im Viertelfinale ein Freilos, damit gibt es zwei Spieler weniger als im letzten Beispiel, also fünf Spiele. Alternativ könnte man bei sechs Teilnehmern drei Viertelfinal-Spiele austragen, ein Halbfinale (und ein Freilos) und ein Finale. Auch bei diesem Modus kommt man auf insgesamt fünf Spiele. Man erhält also in allen Fällen als Anzahl der Spiele immer eins weniger als die Anzahl der Teilnehmer.

Natürlich bildet eine Reihe von Beispielen noch keinen Beweis. Der gemeine Mathematiker hat natürlich den Anspruch, obige Aussage echt zu beweisen. Also:

Warum gibt es bei n Spielern im K.O.-System genau n-1 Spiele?

Nun muss man über Beweise was wissen: es gibt solche und solche.

Die eine Art Beweis ist zwar mathematisch korrekt, aber eher technisch geprägt. Es ist der Art Beweis, der sich für den Laien z.B. als eine lange Gleichungskette mit allerlei rätselhaften Zeichen darstellt. Dies ist – leider – die häufigste Beweisart, was in der Regel der Komplexität der Materie geschuldet ist. Ein solcher Beweis für dieses K.O.-Rätsel ist für den Mathematiker eine einfache Übungsaufgabe, für den mathematisch Interessierten immerhin eine gute Übung, und für alle andere vermutlich reine Zeitverschwendung.

Nun gibt es auch die zweite Art Beweis: das ist der kurze, elegante Beweis, der auf eine tiefere Erkenntnis – auf einen a-ha-Effekt – beruht. Manchmal, wie in diesem Fall, kommt der Beweis sogar völlig ohne Mathematik aus.

Also, nochmal: warum muss es bei n Spielern immer genau n-1 Spiele geben?

Lösung

weitere Pfeffernüsse

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Über Pfeffermatz

... ist ein schokonalytischer Glühwurstematiker.
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7 Antworten zu K.O.-Turnier-Rätsel

  1. Catio schreibt:

    Weil ein Spiel immer aus zweiTeilnehmern besteht? Ich meine mal so – habe aber wirklich keine Ahnung 😉

  2. Catio schreibt:

    Fein, Privatunterricht von einem Mathematiker. Ich weiss schon, warum ich die irgendwie mag: wenn sie mal ´ne Frage stellen, dann sie sind nie zufrieden mit den Antworten, und es kommt garantiert eine neue Frage…

    Ja genau, ich vergaß, es ist ein K.O. Turnier. Und wenn man so subjektiv fragt, dann muss er wohl rausflie….ausscheiden, und da der Gewinner keinen weiteren Gegner hat, kommt kein weiteres Spiiel mehr – es sei denn, er ist Sternzeichen Zwilling und tritt gegen den anderen von sich an, also gegen den einen der bei …

    • Pfeffermatz schreibt:

      Na, das mit den unzufriedenen Mathematikern kann ich so nicht unterschreiben…

      Aber du scheinst es ja raus zu haben: der Sieger ist Sternzeichen Tiger, also Siegertyp, mit Aszendent Kaffeemaschine, macht also schnelle, und hat nach höchstens n-1 Spiele alle platt gemacht!

      Im ernst: mit meiner Nachhilfe hast es geschafft, das war es doch wert! Offizielle Lösungs-Artikel kommt irgendwann die Woche…

      • Catio schreibt:

        Im ernst: mit meiner Nachhilfe hast es geschafft, …

        Das erinnert mich irgendwie an eine Begebenheit, die ich einmal durch Zufall bei einem Spaziergang mitbekam. Ein Bundeswehrtrupp übte das Hangeln an einem Seil über einen Bach. Einer der Soldaten fiel ins Wasser. Ein Vorgesetzter reichte ihm die Hand, zog ihn aus dem Bach und sagte: „Bravo, Sie haben es geschafft, Sie sind jetzt auf der anderen Seite.“ Der Bach war etwa 1,50 breit und 50cm tief…

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