Primzahlen auf dem Mars

Manchmal muss man sich das Glück einfach nur richtig hindefinieren. Dazu sind Mathematiker in besonderem Maße in der Lage.

Letzte Woche wurde publik, dass der Mathematiker Yitang Zhang von der University of New Hampshire ein wichtiger Beweis bezüglich Primzahl-Zwillingen gelungen war. Hier folgt meine vereinfachte „worum geht?“-Darstellung. Wer beim Wort „Primzahlen“ Kopfschmerzen kriegt, kann die nächsten Absätze gerne überspringen.

— Periculum: Hic est mathematica! —

Primzahlen sind was ganz besonderes: wenn die natürlichen Zahlen die Materie darstellen, so sind die Primzahlen die Elemente. Das heißt: so wie sich in der Chemie jeder Stoff in einzelne Elemente zerlegen lässt, so lässt sich in der Zahlentheorie jede natürliche Zahl (das sind die positiven ganzen Zahlen, also 1, 2, 3, 4, usw.) in Primzahlen zerlegen. So wie ein Wasser-Molekül aus zwei Wasserstoff- und einem Sauerstoff-Molekül besteht, besteht die Zahl 12 aus zwei mal die Zahl Zwei und einmal die Zahl Drei (2*2*3 = 12). Was in der Chemie die Verhältnisformel (Wasser: H2O), ist in der Zahlentheorie die Primzahlzerlegung (12 = 2* 3).

Nun sieht man einem Stoff (dem Glibber auf dem Labortisch, einem Klumpen Metall, einem Gas in einem Behältnis) nicht ohne weiteres an, ob dieser in weitere Stoffe zerlegbar ist, oder ob er an sich schon ein Element darstellt. Genau so verhält es sich mit Primzahlen: Der Zahl 1997 z.B. sieht man auch nicht sofort an, ob sie sich als Produkt von anderen Zahlen darstellen lässt oder eben selber schon eine Primzahl ist (sie ist eine).

Primzahl-Zwillinge nennt man zwei Primzahlen, deren Differenz 2 ist, z.B. 1997 und 1999 (Primzahlen mit Differenz 1 interessieren nicht, denn da gibt es nur das Paar 2 und 3 – schließlich ist 2 die einzige gerade Primzahl (logo, denn alle anderen geraden Zahlen sind durch zwei teilbar und somit keine Primzahlen!))

Nun fragen sich die Mathematiker seit n Jahrhunderten (wobei n zwischen 1 und 2):

Gibt es unendliche viele Primzahlzwillinge?

Wie so häufig in der Zahlentheorie, handelt es sich hierbei um eine einfache Frage, deren Beantwortung wahnsinnig schwer fällt, ähnlich wie bei der Vermutung von Fermat (welche inzwischen bewiesen wurde; das letzte Puzzelstück zu deren Beweis wurde vor zwanzig Jahren gelegt und umfasste 100 Seiten!). Die obige Vermutung über die Primzahlzwillinge dagegen ist bis heute noch unbewiesen.

Und hier kommt Herr Zhang ins Spiel. Er hat beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, deren Abstand höchstens… nicht etwa 2, sondern… 70 Millionen beträgt!

Jetzt könnte man ja meckern und sagen: „Wir wollten eine Aussage über Primzahlen mit Abstand 2, und er liefert uns eine über Primzahlen mit Abstand 70 Millionen! So ein Mist!“ Damit würde man aber verkennen, dass Zhang zum ersten Mal überhaupt eine Existenzaussage über Primzahlpaare mit einem maximalen Abstand bewiesen hat.

Noch besser: Man kann die obige Primzahlzwilling-Vermutung auch umformulieren als:

Der maximale Abstand zwischen zwei Primzahlen, für den wir noch unendlich viele Primzahlpaare finden können, beträgt 2.

In dieser Formulierung wäre der bisherige bekannte maximale Abstand „unendlich“ gewesen (das ist gleich bedeutend mit: wir wissen nichts über Primzahlpaare mit endlichem Abstand), und diesen Abstand hat Zhang nun von Unendlich auf 70 Millionen verringert. Nun gilt es nur noch, von 70 Millionen auf 2 herunter zu beweisen! Dass könnte zwar Jahrzehnte dauern, aber der Weg dahin ist nun absehbar. Wie sagt Herr Zhang:

Der Sprung von 70 Millionen zu 2 ist nichts im Vergleich zum Sprung von 70 Millionen zur Unendlichkeit.

Wie wahr.

Eine mögliche Darstellung von Primzahlen (weiße Punkte). Man erkennt regelmäßige Strukturen, die aber trotzdem nicht formelhaft greifbar sind. Alternativ stellt dieses Bild das Grundrauschen im Geist eines Mathematikers dar, der versucht, sich auf einen Blog-Artikel (weißer Kreis in der Mitte) zu konzentrieren.

— Hic non est mathematica. —

Ich stelle mir vor, die Menschheit hätte das Ziel, eine bestimmte (bemannte) Rakete zum Mars befördern. Dazu soll ein bestimmter Treibstoff zur Anwendung kommen, sagen wir mal… Schweinegülle. Zusätzlich soll die Rakete eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 10.000 km/h erreichen, so dass die Reise zu Mars (je nach momentanem Abstand zur Erde) ungefähr ein Jahr dauern soll.

Nun stellen wir uns vor, die Wissenschaftler machen Jahrzehnte lang keinen Fortschritt – es will nicht klappen, eine mit Schweinemist betriebene Rakete in den Weltall zu befördern. Doch dann schafft es eines Tages die Firma Xang, eine Schweinegülle-Rakete zu bauen, die mit immerhin 100 km/h durchs All fliegt.

Nun gibt es zwei mögliche Betrachtungsweisen:

  1. Xang hat es geschafft, die Geschwindigkeit der Marsrakete von 0 km/h auf 100 km/h zu erhöhen. Allerdings verbleiben noch 9.900 km/h, oder auch ein Faktor von hundert. Xang hat erst einen winzigen Schritt (nämlich 1%) gemacht.
  2. Xang hat es geschafft, die schweinegülle-betriebene Reisedauer von der Erde zum Mars von Unendlich auf 100 Jahre herunter zu entwickeln. Es verbleiben nur noch 99 von unendlich vielen Jahren aufzuholen. Eine Riesenleistung von Xang!

Mathematischer Einschub: wir betrachten in 2 einen Kehrwert von 1, denn wir bilden das Intervall [0 , 100] auf das Intervall [100 , ∞] ab.

Da die Firma Xang schlau ist, wird sie sich per Darstellung 2 äußerst erfolgreich vermarkten, und – wie der Mathematiker Yitang Zhang – die verbleibenden 0% Leistung einem anderen Forscher überlassen.

Advertisements

Über Pfeffermatz

... ist ein schokonalytischer Glühwurstematiker.
Dieser Beitrag wurde unter Echte Geschichten, Mathematik & Logik abgelegt und mit , , verschlagwortet. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

3 Antworten zu Primzahlen auf dem Mars

  1. gnaddrig schreibt:

    Hat der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (wenn er denn je geführt wird), irgendwelche Auswirkungen? Kann man mit diesem Wissen Dinge machen oder bauen, die sonst nicht gehen? Oder ist diese Art der mathematischen Betätigung eher als skurriles Hobby zu werten?

    • Pfeffermatz schreibt:

      Häufig finden Fortschritte in der Mathematik ihre Anwendung in einer Wissenschaft (Physik, Biologie, Wirtschaftswissenschaft, Informatik, etc) Jahrzehnte wenn nicht gar Jahrhunderte nach Ihrer Entdeckung.

      Und häufig finden Sie auch nie eine praktische Anwendung. Das hat die Mathematik dann mit anderen nutzlosen Fächern wie Philosophie, Kulturgeschichte, Evolutionstheorie, Musikwissenschaften etc. gemein. Oder wozu müssen wir wissen, auf welchen Umwegen sich der Mensch aus dem Schimpansen entwickelt hat, oder welche Maler und Lebensereignisse Van Gogh inspiriert haben?

      Oder ist die Suche nach Erkenntnis (und von gerade derart fundamentaler Art) nicht etwas Grund genug?

      • gnaddrig schreibt:

        Hast schon recht, die Suche nach Erkenntnis für sich ist sicher Grund genug. Das wird jeder nachvollziehen können, der selbst für sich eine Entdeckung gemacht hat (egal, ob das jetzt wissenschaftliches Neuland oder kalter Kaffee ist. Es kann schon toll sein, das in 13 Schuljahren nicht verstandene Periodensystem der Elemente dann irgendwann doch ganz unverhofft zu durchschauen). Sowas macht irre Spaß, von daher verstehe ich durchaus, wie man sich dieser Art „nutzloser“ Mathematik verschreiben kann, obwohl das für mich nichts wäre.

        Als großer Fan nutzloser Spielereien wollte ich auch gar nichts gegen die Beschäftigung mit solchen, sagen wir entlegenen Nischen der Wissenschaft sagen. Ich finde es nur immer wieder faszinierend, wie Leute Jahre ihres Lebens aufwenden und kubikmeterweise Papier (oder das digitale Äquivalent) vollschreiben, um etwas zunächst völlig Nutzloses zu beweisen oder etwas für 99,998% der Menschheit absolut Egales im Detail zu beschreiben (etwa die Unterschiede zweier Sorten Tonscherben an einer Fundstelle in xy).

        Man muss natürlich selbst wissen, wie wichtig man diese bestimmte Art Erkenntnisgewinn findet und ob man sie zum Lebensinhalt machen will. Und dass da verschiedene Leute verschiedene Dinge wichtig finden, ist nur natürlich. Außerdem: Wenn alle immer nur streng rational und unter dem Diktat der Kosten-Nutzen-Optimierung handeln würden, wäre das langweilig und unerträglich. Also: Immer gib ihm, es gibt sicher noch genug zu beweisen und zu entdecken 🙂

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s