Lösung zum Chor-Rätsel

Im letzten Rätsel stellte ich zwei Chöre vor (“Ahmoll” und “Behdur“) bei denen folgendes galt: Das Durchschnittsalter der Männer von Ahmoll war größer als das der Männer von Behdur. Für die Frauen galt das gleiche. Aber das Durchschnittsalter des gesamten Ahmoller Chors sollte niedriger als das des Behdurer Chors sein.

Das ist kein Widerspruch und hat auch nichts mit Zwitterwesen zu tun, sondern mit den jeweiligen Verhältnissen von Männern und Frauen. Hier eine mögliche Aufstellung der Chöre, unterteilt in Männer und Frauen und mit den jeweiligen Durchschnittsaltern:

      Ahmoll       Behdur
Anzahl ØAlter Anzahl ØAlter
Frauen 60 39 20 35
Männer 30 54 40 50
Gesamt 90 44 60 45

Die Frauen haben in beiden Chören ein viel niedrigeres Durchschnittsalter als die Männer. Da aber nun Ahmoll einen viel höheren Frauenanteil als Behdur hat, ist dort auch das Durchschnittsalter über den gesamten Chor etwas tiefer, obwohl der geschlechtsspezifische Durchschnitt jeweils höher ist. Anders gesagt: Bei Ahmoll muss der gesamte Durchschnitt irgendwo zwischen den einzelnen Durchschnitten, also im Intervall [39, 54] liegen. Bei Behdur liegt der gesamte Durchschnitt irgendwo im Intervall [30, 50].

Wo in diesen Intervallen der jeweilige Durchschnitt liegt, hängt nun von der Gewichtung der Intervallgrenzen, also vom jeweiligen Frauen-Männer-Verhältnis ab. Und dieses Verhältnis beträgt bei Ahmoll 2:1 (da wird also die untere Grenze stärker gewichtet) und bei Behdur 1:2 (dort wird die obere Grenze stärker gewichtet).

Die absoluten Mitgliederzahlen sind da sogar völlig egal. Ein Leser machte mich darauf aufmerksam, dass man aus der gleichen Aufgabenstellung heraus die Frage

Wie groß müssen die Chöre mindestens sein, damit genau diese Durchschnittsalter herauskommen sollen?

stellen könnte. Die Lösung: Wie oben beschrieben kriegen wir z.B. für Ahmoll heraus, dass das Geschlechterverhältnis 2:1 betragen muss, es müssen also doppelt so viele Sänger als Sängerinnen vorhanden sein. Damit wäre drei mathematisch gesehen die Mindestanzahl. Nun darf man aber eine Fragestellung aus der Praxis nicht von dieser entkoppelt betrachten, will sagen: es ging doch um Chöre. Und die Lösung drei würde bedeuten, dass der Frauenchor aus zwei Damen und der Männerchor aus einem Solosänger bestünde. Eine kleine Internetrecherche meinerseits ergab: Ganz feste Untergrenzen für die Größe eines Chors gibt es nicht, aber scheinbar spricht man in der Regel erst ab 12 Personen von einem Chor (genaugenommen von einem Kammerchor). Bei vier Leuten spricht man von einem Quartett, bei acht eher von einem Doppelquartett. Dieser Definition – mindestens 12 pro Chor – zufolge müsste Ahmoll also mindestens drei mal zwölf, also 36 Mitglieder haben (denn erst dann wäre der ahmoller Männerchor mindestens 12 Sänger stark).

Aber nun zurück zum ursprünglichen Problem, dass Vergleiche von zwei Gruppen anders ausfallen können als Vergleiche auf Teilmengen dieser Gruppen:

Ein realitätsnaheres und somit politisch inkorrekteres Beispiel (denn die Realität nimmt keine Rücksicht auf Empfindlichkeiten) habe ich im lesenswerten und sehr kurzweiligen Buch Paradoxien aus Naturwissenschaft, Geschichte und Philosophie von Johann Berger gefunden. Dort betrachtet er die Sterberaten zwischen den Städten New York und Richmond, aufgeteilt nach Hautfarbe (Weiß oder Farbig). Dort ergibt die Statistik, dass Weiße und Farbige jeweils in New York gefährlicher leben (also eine höhere Sterberate als in Richmond haben), aber dass die Sterberate insgesamt (also für Farbige und Weiße zusammen) in Richmond höher ist. Wie kommt’s? In beiden Städten haben Farbige eine deutlich höhere Mortalität als Weiße, aber der Anteil der Farbigen in der Gesamtbevölkerung ist in Richmond viel größer als in New York. Es ist also die gleiche Logik wie bei den Chören.

Und welche Betrachtung ist richtig? Wenn man Schlüsse ziehen will, dann immer die, mit der genaueren Aufteilung. Wollte die Stadt Richmond das Problem der hohen Sterblichkeit lösen, müsste sie eine Strategie folgen, die insbesondere auf die Probleme der „farbigen“ Bevölkerung abzielt. Wollte der Verein Behdur seinen Chor verjüngen, so sollte er mehr Frauen anwerben. Aber vielleicht ist auch die Unterteilung nach Geschlechtern bei den Chören nicht der Weisheit letzter Schluss – vielleicht korreliert die Geschlechteraufteilung nur mit einem tiefer liegenden Grund, wie z.B. die Berufstätigkeit oder Einkommensverhältnisse oder … Und schon kann man weitere Auswertungen fahren, und der Statistiker hat so viel so tun, dass er selber in keiner Chor-Statistik auftaucht.

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Über Pfeffermatz

... ist ein schokonalytischer Glühwurstematiker.
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5 Antworten zu Lösung zum Chor-Rätsel

  1. gnaddrig schreibt:

    Irgendwann wird es schwer, ausreichend große Gruppen von Leuten zusammenzukriegen, um nach allen Merkmalen differenzieren zu können. Bei den Chören etwa: Mann/Frau, berufstätig/nicht berufstätig (zählt Hausfrausein als berufstätig?), Zivilstand, Augenfarbe, Wohnort (Stadt/Land), politische Orientierung, weltanschauliche/religiöse Orientierung, vegan/vegetarisch/omnivore usw.

    Egal, auch für Statistiker gilt: Wes Brot ich zähl, des Lied ich sing…

    • Pfeffermatz schreibt:

      An der Stelle ist tatsächlich die Erfahrung gefragt, nach welchen Merkmalen zu differenzieren sinnvoll wäre. In der Statistik tauchen häufig so schöne Schnittstellen zwischen Mathematik und praktischem Wissen auf.

    • gnaddrig schreibt:

      Stimmt, und man kann den Blick auf das Wesentliche auch durch zu viele Vergleiche und Kennzahlen verstellen. Und wenn man lange genug sucht, findet man sicher irgendwelche Kombinationen von Kriterien, mit denen man „interessante“ (also unerwartete, aufsehenerregende, skandalöse o.ä.) Ergebnisse kriegt. Geschickt betriebendes Cherrypicking ist auch eine beliebte Art der Manipulation.

  2. franhunne4u schreibt:

    Geschickt betriebenes Cherrypicking ist doch, was Statistiken immer wieder in die Schlagzeilen und auch immer wieder in die bunten Seiten der Tageszeitungen bringt …

    • Pfeffermatz schreibt:

      Oder auch suggestive, günstig „abgeschnittene“ Grafiken. Ach, mit Statistik kann man den schlimmsten Schindluder treiben. Ich glaube aber, die Journalisten wollen gar nicht betrügen – sie haben einfach ihren kreativen Spaß an den Daten 🙂

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