Bevor ich nun das schon letztens erwähnte Buch Paradoxien aus Naturwissenschaft, Geschichte und Philosophie von Johann Berger in die Bücherei zurücktrage, muss ich noch schnell ein Rätsel loswerden, das im dortigen Kapitel „Briefwahl“ als mögliches Entscheidungs-Dilemma behandelt wird:
Du bist als Kandidat in einer Spielshow zu Gast, und der Moderator händigt dir zwei Umschläge mit den Worten aus:
In dem einen Umschlag befindet sich doppelt so viel Geld wie im anderen Umschlag. Wähle einen Umschlag; das Geld darin gehört dir!
(Für Spezis: Die Beträge in den Umschlägen sind größer Null, und man kann den Umschlägen nicht anmerken, in welchem mehr oder weniger Geld drin ist). Du wählst den linken Umschlag; dieser ist mit 50%er Wahrscheinlichkeit der Umschlag mit der höheren Summen, und genauso mit 50%er Wahrscheinlichkeit der mit der niedrigeren Summe. Aber bevor du ihn öffnest, kommt dir folgender Gedanke:
In diesem Umschlag befindet sich eine Summe, nennen wir sie S. Wenn ich ihn öffne, erhalte ich S Euro. Was passiert aber, wenn ich stattdessen den anderen Umschlag öffne? Mit 50%er Wahrscheinlichkeit befindet sich in dem anderen Umschlag die Summe 2S, und genauso mit 50%er Wahrscheinlichkeit befindet sich dort die Geldsumme 1/2 S. Somit erhalte ich beim Öffnen des anderen Umschlags im Erwartungswert (also im Mittel) die Summe 0,5 * 2 * S + 0,5 * 1/2 * S = 1,25 S. Es lohnt sich also zu wechseln, obwohl ich den Umschlag zufälligerweise ausgewählt habe!
Das hieße z.B.: Verrät mir der Moderator, dass sich im zuerst gewählten, linken Umschlag 1000 Euro befinden, so kann ich durch Wechseln des Umschlags im Erwartungswert 1250 Euro mit nach Hause nehmen.
Das ist unlogisch – die Erwartungswerte beider Umschläge müssen natürlich gleich sein! Schließlich sind sie untereinander austauschbar. Wo liegt der Fehler in der Logik?
Pfeffermatz 
Wenn die Umschläge austauschbar sind, gilt für den Nichtwechsel derselbe Erwartungswert. Und ob der korrekt berechnet ist, weiß ich nicht, ist aber auch egal.
Korrekt, also offenbar ist er nicht korrekt. Korrekt?
Ok, ich versuch’s mal (nachdem ich „Erfahrungswert“ in der Wikipedia nachgeschaut habe):
Es gibt zwei Umschläge mit einem großen Betrag Sg und einem kleinen Betrag Sk, wobei Sg=2Sk. Ich wähle einen Umschlag aus.
Wenn ich den Umschlag mit dem großen Betrag habe, gilt für Wechsel wie Nichtwechsel:
0,5*0,5Sg+0,5*S=0,75Sg
Wenn ich den Umschlag mit dem kleinen Betrag habe, gilt für Wechsel wie Nichtwechsel:
0,5*2Sk+0,5*Sk=1,5Sk
Wenn Sg=2Sk, dann 1,5Sk=0,75Sg, also habe ich unabhängig davon, welchen Umschlag ich habe, denselben Erwartungswert, der ganz nebenbei auch dem Durchschnitt der möglichen Werte entspricht, wenn ich das richtig verstehe.
Du bist ein Phänomen und ein Autodidakt und sicherlich ganz viele andere dolle Dinge! Damit hast du tatsächlich die jeweiligen Erwartungswerte korrekt berechnet und eine lobende Erwähnung verdient 🙂 Es bleibt noch die Frage, was an der im Beitrag vorgestellten Logik falsch ist.
Leider ist diese Frage gar nicht so einfach zu beantworten. Genaugenommen war ich gerade dabei, einen Lösungsbeitrag zu schreiben, als mir ungeheuere Selbstzweifel und eine neue Folge vom „Tatortreiniger“ dazwischenkamen. Morgen bin ich dann hoffentlich so weit!
Danke für die lobende Erwähnung 🙂 Wenn das mein alter Mathelehrer noch erleben dürfte…
Wenn ich nochmal darf, dann musst Du Dich im Idealfall morgen nicht mehr bemühen:
In Deiner Rechnung oben sind die Beträge vermurkst. Dort steht im ersten Summanden 2S für den großen Betrag, im zweiten Summanden aber 0,5S für den kleinen Betrag. Da wäre Sg=4Sk, und das passt nicht zu der Bedingung, dass Sg=2Sg sein soll.
Laut Spielregel ist entweder Sg oder Sk im Umschlag, und dann ist es sinnlos, einen Erwartungswert für Sg und 0,5Sk zu berechnen.
In dem Moment, wenn ich einen der Umschläge wähle, erhalte ich als Erwartungswert dieser binären Entscheidung den Betrag X = 0.5 * S + 0.5 * (S / 2) = 0.75 * S.
Dieser Wert ist unabhängig davon, welchen Umschlag ich konkret gewählt habe und ändert sich deshalb auch nicht mehr durch einen Tausch der Umschläge.
Der Fehler in den Annahmen des „Gedanken“ ist, dass man nicht den Wert S, sondern 0.75 * S zu Beginn in den Händen hält (im Mittel allerdings).
Hmmm… aber das würde den Widerspruch doch nicht auflösen, oder? Dann hätte man halt im ersten Umschlag 0,75 * S (im Mittel). und beim Wechseln einen Erwartungswert von 0,75 * 1,25 * S. Oder so 😉
Nein.Der Wechsel bringt keinen Vorteil, weil schon der erste Erwartungswert von der konkreten Wahl unabhängig ist.
Inzwischen habe ich die „Lösung“ gepostet, aber leider ist sie nicht so kurz und knackig zu fassen. Im Grunde genommen hast du es aber gerafft! Die „konkrete Wahl“ des ersten Umschlags muss in die Berechnung eingehen 🙂 Bravo!
Die Annahme man hätte entweder S oder 1/2S in Händen ist schon falsch. Als Erwartungswert hat man 0.75*S in Händen.
Schön! Es ist ein Beispiel dafür, wie wir unbewusst Annahmen treffen, die gar nicht so selbstverständlich sind. Ach, hier lernt man was fürs Leben!
Eone rechenaufgabe zu bilden ist schonmal falsch. Dann ost doe variante den anderen umschlag wieder zu nehmen nicht eine geringere chance. Es handelt sich hierbei nur bei der1. Auswahl s2 um seinen gewinn durch spielen zuholen würde dennoch wieder nach s1 greifen sieht mann dass spiel als vergleichchance an weil mann seine eigener aussage unsicher ist.