Lösung zum Geld-im-Umschlag-Rätsel

Es kommt nun der Moment, vor dem ich mich fürchte: die Auflösung des Geld-im-Umschlag-Rätsels. Zwar kenne ich die Lösung – mehr noch: ich verstehe sie sogar(!), aber nur manchmal, … und außerdem weiß ich nicht, wie ich sie Nichtmathematikern klar machen soll. Ehrlich gesagt schaffe ich es kaum, sie die mich umgebenden Mathematikern in befriedigender Weise zu erklären.

Aber wer immer noch genügend nicht abgeschreckt wurde: jetzt geht’s los!

Hier noch mal das Problem an dem Problem:

Voraussetzung:
Mir werden zwei Umschläge gezeigt. In einem der Umschläge befindet sich doppelt so viel Geld wie im anderen Umschlag, ich weiß aber nicht, welcher Umschlag welcher ist. Ich wähle einen Umschlag.

Problem:
In dem einen zufällig gewählten Umschlag befindet sich eine Summe, nennen wir sie S. Wenn ich ihn öffne, erhalte ich S Euro. In einem anderen Umschlag befindet sich mit 50%er Wahrscheinlichkeit die Summe 2S, und mit 50%er Wahrscheinlichkeit befindet sich dort die Geldsumme 1/2 S. Somit erhalte ich beim Öffnen des anderen Umschlags im Erwartungswert (also im Mittel) die Summe 0,5 * 2 * S + 0,5 * 1/2 * S = 1,25 S. Widerspruch, denn aus Gründen der Symmetrie müssen die Erwartungswerte der zwei gleichberechtigten Umschläge gleich sein!

Lösung:
Bei der Aufstellung der (leider falschen) Gleichung

  Erwartungswert = 0,5 * 2 * S + 0,5 * 1/2 * S

gehe ich stillschweigend von der Annahme aus, dass bei einer festen Summe S in dem einen Umschlag, die Werte 2S und 1/2 S im zweiten Umschlag gleich wahrscheinlich sind. Diese Annahme ist zwar naheliegend, aber tatsächlich falsch! Denn die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Umschlag der 2S- oder der 1/2 S-Umschlag ist, hängt ganz wesentlich von S ab! (mathematischer Exkurs: Täte er dies nicht, so würde dies bedeuten, dass alle Geldsummen von 0 bis Unendlich gleich wahrscheinlich wären, was aber verboten ist, denn die Summen über aller Wahrscheinlichkeiten wäre somit Unendlich – diese muss aber 1 sein!).
Kurzum: Entweder darf ich nicht so naiverweise die 0,5 ansetzen, wenn ich das S festhalten will; oder aber ich darf das S nicht festhalten!

Es gibt somit zwei Möglichkeiten, den Erwartungswert (in der Theorie) korrekt zu berechnen:

1. Man hält, wie oben, das S fest. Dann muss man aber die zwei „50%“ durch sogenannte „bedingte Wahrscheinlichkeiten“ ersetzen, also
   
   Erwartungswert = P(Umschlag ist „niedrig“ | Umschlag enthält S Euro) * 2 * S
                                       + P(Umschlag ist „hoch“ | Umschlag enthält S Euro)  * 1/2 * S

   (dabei bedeutet P(A|B): Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B schon eingetreten ist),
   wozu man aber die echte Verteilung der von der Spielshow verteilten Geldsummen kennen muss, um die Ps berechnen zu können.
   Diese könnte z.B. folgendermaßen lauten: Der „höhere“ Umschlag beinhaltet eine Geldsumme zwischen 700 und 3000 Euro (gleichverteilt), der „niedrigere“ Umschlag dann davon die Hälfte (gerundet auf ganze Euro, womit im „niedrigen“ Umschlag zwischen 350 und 1500 sein müssen). Würde man also dann den ersten Umschlag öffnen und darin z.B. 1000 Euro finden, könnte man mit unverschämt hoher Mathematik die jeweilige bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass sich im anderen Umschlag 500 oder 2000 Euro befinden: Witzigerweise kommen bei diesem einfachen Beispiel tatsächlich jeweils 50% heraus, so dass sich hier das Wechseln lohnt! Befänden sich in dem Umschlag allerdings 1700 Euro, so wäre die Wahrscheinlichkeit 100%, dass es sich um den „hohen“ Umschlag handelt. Dann würde man natürlich nicht wechseln. Befänden sich in dem Umschlag allerdings 600 Euro, so wäre die Wahrscheinlichkeit 100%, dass es sich um den „niedrigen“ Umschlag handelt, und wieder wäre Wechseln angesagt.
   Man sieht: der Erwartungswert des Wechselns hängt entscheidend von S ab!

2. Man bleibt bei den jeweiligen 50% als Wahrscheinlichkeit, dass man den „höheren“ oder den „niedrigeren“ Umschlag gewählt hat – dann hat man in der Formel aber zwei verschiedene S! Es müsste dann nämlich   Erwartungswert = 0,5 * 2 * S_klein + 0,5 * 1/2 * S_groß

   heißen, wobei S_klein die mittlere zu erwartende Summe im kleinen Umschlag und S_groß die mittlere zu erwartende Summe im großen Umschlag bedeuten. Da aber S_groß = 2 * S_klein, folgt hieraus

     Erwartungswert = 1,5 * S_klein ( = 0,75 * S_groß)

   Dieser Erwartungwert ergibt sich übrigens auch, wenn man nicht wechselt, und die Symmetrie ist wieder hergestellt! Dies ist übrigens der auch Lösungsweg, den das verkannte Mathegenie Gnaddrig in seinem Kommentar aufgezeigt hat.

Liebe Leser! Nun habe ich hier deutlich mehr Mathematik hingeknallt, als ich es eigentlich wollte. Das tut mir leid. Wenn es stimmt, dass jede Formel die Leserschaft um 50% reduziert (sagt Stephan Hawking), dann kann ich mit den übrig gebliebenen Lesern eine ruhige Runde Skat spielen. Zur Entschuldigung hier ein kurzer Witz:

Warum können Seeräuber den Flächeninhalt eines Kreises nicht berechnen?
Weil sie Pi raten!

Und trotzdem: Dieses Rätsel ist ein schönes Beispiel für einen vermeintlich simplen logischen Sachverhalt, der sich dann ganz anders als vermutet verhält und zu dessen Erklärung man mindestens etwas höhere Schulmathematik benötigt. Soviel zur Frage: Wozu ist Mathematik gut? Um die Welt zu verstehen (und zwar, wie hier, auch außerhalb der Physik!)