Voll die labile Cornflakes Dröhnung

Dieses Wochenende kam ich endlich dazu, mich um das Rätsel unserer instabilen Cornflakes-Dosen zu kümmern:

Wir füllen unseren Müsli bzw. unsere Cornflakes bzw. Cerealien bzw. Frühstücksflocken bzw. was-sagt-ihr-dazu? in Aufbewahrungsdosen von IKEA, siehe Bild.

IKEA-Aufbewahrungsdose mit hohem Schwerpunkt in natürlicher Umgebung (nachgestellt)

IKEA-Aufbewahrungsdose mit hohem Schwerpunkt in natürlicher Umgebung (nachgestellt)

Diese Dosen sind hoch und dünn und haben somit den Nachteil, etwas instabil zu sein. Ziemlich. Sogar ziemlich sehr. Das liegt daran, dass der Schwerpunkt so hoch ist. Nun frage ich mich, seitdem vor Jahren zum ersten Mal eine solche Dose bei uns umkippte: Bei welcher Füllhöhe ist die Dose möglichst stabil, der Schwerpunkt als möglichst tief?

Betrachten wir zur Vereinfachung erst mal die Dose ohne Deckel: Ist die Dose – ohne Deckel – leer, so liegt ihr Schwerpunkt ungefähr in der Mitte, also bei Höhe 1/2. Ist die Dose voll, so liegt ihr Schwerpunkt ebenfalls ungefähr in der Mitte. Irgendwo zwischen dem Zustand „Dose leer“ und „Dose voll“ ist der Schwerpunkt am tiefsten – geschätzt irgendwo bei Ein-Drittel-Fülllung. Aber wo genau? Dazu bediene ich mich der geheimen Mittel der Mathematik…

Sei d das Gewicht der Dose, c das Gewicht der vollen Füllung (dabei steht c für Cerealien oder Cornflakes oder Cheerios!) und x das Gewicht der momentanen Füllung. Ach ja, und S(x) sei der Schwerpunkt als Funktion von der Füllung. Uns interessiert, bei welcher Füllung x – nennen wir sie xmin – die Funktion S ihr Minimum erreicht.

Der Schwerpunkt der leeren Dose ist wie gesagt 1/2. Der Schwerpunkt der momentanen Füllung x ist 1/2 · (x/c). Der Schwerpunkt des Gesamtsystems ist der gewichtete Mittelwert der einzelnen Schwerpunkte, also:

\mathrm{S(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d}{d+x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x}{c}\cdot\dfrac{x}{d + x}}

 

Nun wie in der Schule: ableiten, Null setzen, p-q-Formel anwenden, ergibt:

\mathrm{x_{min}=-d+\sqrt{d^2+dc}}

 

Dann habe ich die Küchenwaage hervorgekramt und das Gewicht von Dose und Füllung bestimmt. Ich erhielt eine Dosengewicht von d = 247 g, und eine komplette Füllung mit Cheerio-Imitat besaß ein Gewicht von c = 453 g. Diese Werte oben eingesetzt ergeben:

xmin = 169 g,

was gerade 37% der vollen Füllung von 453 g entspricht. Somit war die anfängliche Schätzung von 1/3 gar nicht so schlecht! Und wo liegt da der Schwerpunkt? Kuriosererweise gilt S(xmin) = x/c = 37%. Das heißt wohl, dass der Schwerpunkt genau auf der Füllhöhe liegt.

Falls ihr euch fragt, warum ich zuerst für allgemeine d und c gerechnet habe und erst zum Schluss die Zahlen eingetragen habe: Der offizielle Grund ist, dass ich somit eine allgemeine Formel erhalte, die z.B. auch für leichtere Cornflakes mit einem Füllgewicht von 300 g statt 453 g gilt. Der eigentliche Grund ist aber, dass es einfach cooler ist, mit Buchstaben zu rechnen.

So, bisher hatte ich den Deckel D weggelassen, der 65 g wiegt und einen Schwerpunkt von 1 („ganz oben“) hat. Nehme ich den Deckel hinzu, so lautet die Schwerpunkt-Formel:

\mathrm{S(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d}{d+x+D}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x}{c}\cdot\dfrac{x}{d+x+D}+\dfrac{D}{d+x+D}}

 

und als Minimum ergibt sich

\mathrm{x_{min}=-(d+D)+\sqrt{(d+D)^2+(d+2D)\cdot c}=206 g}

 

Dies entspricht eine 45%ige Füllung, und auch hier liegt der Schwerpunkt direkt auf der Füllhöhe.

Also, was habe ich gelernt, außer dass ich am Wochenende offenbar zu viel Zeit habe und dass mir die p-q-Formel nicht mehr auf Anhieb einfiel? Ich habe herausgefunden, dass die Cornflakes-Dose am stabilsten steht, wenn sie zu 45% gefüllt ist, und dass der Schwerpunkt dann immer noch verflucht hoch – nämlich fast auf halber Höhe! – liegt. Was haben sich die IKEA-Designer wohl dabei gedacht, uns einen solchen Wackelturm in die Küche zu stellen?

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Über Pfeffermatz

... ist ein schokonalytischer Glühwurstematiker.
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8 Antworten zu Voll die labile Cornflakes Dröhnung

  1. Anna-Lena schreibt:

    Boah 😯 , das ist ja höhere Mathematik, da komme ich nicht mehr mit.
    Für mich ist die einzig logische Folgerund, die Erdanziehung ist besonders stark 🙂 .
    Liebe Grüße
    Anna-Lena

  2. Anna-Lena schreibt:

    …soll natürlich Folgerung heißen … 😳

  3. gnaddrig schreibt:

    Man könnte natürlich den Schwerpunkt der Kippeldosen nach unten manipulieren. Etwa indem man möglichst schwere Dinge in die Müslidose legt, sodass der Boden bedeckt ist, und das dann mit Kunstharz oder Silikonmasse bedeckt. Dann hätte die Dose einen schweren, dicken Boden, und der Schwerpunkt wäre deutlich nach unten gewandert.

    Das eröffnet auch vielseitige Gestaltungsmöglichkeiten. Man kann Schrauben, Nägel, alte Schlüssel, Kugellagerkugeln usw. als Gewicht nehmen und als Füllmasse mit lebensmittelechtem Silikon arbeiten. Das wird in verschiedenen Farben angeboten und ist sicher auch spülmaschinenfest.

    Wer an einem Wochenende zuviel Zeit hat, könnte sich aus Metallteilen irgendwelche steampunkig aussehenden Gebilde für den Boden der Müslidose basteln, das hätte dann richtig Stil. Auch diese billigen LED-Bauteile, die auf Erschütterung reagieren und dann ein paar Sekunden in wechselnden Farben blinken, könnte man da sehr schön verbauen. Wär das nichts?

    • Pfeffermatz schreibt:

      Und ich wollte einfach nur zwei Dosen gemeinsam mit Panzerband umwickeln um sie so zusammen zu binden… Damit wäre der Schwerpunkt immer noch gleich hoch, aber die Basis stabiler (das Hauptproblem ist ja auch gar nicht die absolute Höhe des Schwerpunkts, sondern die Höhe des Schwerpunkts im Vergleich zur Basisfläche. Und die ist miserabel hoch!
      Dein Vorschlag ist jedenfalls künstlerisch und technisch und meinem um Meilen voraus. Danke dafür! Gibt es lebensmittelechten Silikon? Oder nimmt man lieber Zuckerguss oder Entenfett oder so was?

      • gnaddrig schreibt:

        Also, es gibt Backformen und Eis(würfel)formen und allerlei Küchengeräte aus Silikon, die dürften alle lebensmittelecht sein. Da müsste es im Prinzip möglich sein, den Werkstoff auch als Rohmasse zu kriegen. Ansonsten gibt es in jedem Baumarkt Silikon für den Lebensmittelbereich, ob das im engeren Sinne lebensmittelecht ist, weiß ich aber nicht. Bei Google wissen sie sicher mehr 😉

        Alternativ könnte man einen Gipsabdruck vom Fuß des Behälters machen und darin dann meine metallhaltige Sohle mit Kunstharz statt Silikon bauen und dann als Fuß unter das Behältnis kleben, dann bleibt das Fassungsvermögen auch unverändert.

      • gnaddrig schreibt:

        Ganz nebenbei, wenn Du dann noch den Tisch mit einem bisschen Technik nachrüstest, kannst Du mit den metallfüßigen Müslidosen eine Menge Spaß haben…

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